O nulách a nekonečnách

Autor: Petrík Dátum: 21.12.2016 Zobrazenia: 932 x

V nasledovných riadkoch chcem rozpísať jeden sled úvah, ktorý ku mne prišiel v priebehu posledných dní. Ani neviem, aká motivácia ma poháňa k spísaniu - či je to snaha podeliť sa s týmito myšlienkami alebo si to len sám pre seba ujasniť alebo ešte niečo iné... V každom prípade, tu to je. :)

V prvom rade podotýkam, že sám som vždy inklinoval k technickým odborom, vyštudoval som technické odbory a vždy som predmety ako matematiku či fyziku mal rád. Moja myseľ sa s radosťou zahryzne do riešenia matematického problému či už v teoretickej rovine alebo v praktickej - a to hlavne pri programovaní. A nikdy doteraz mi nenapadlo pochybovať o matematických princípoch, nadväznosti či výpovednej hodnote. Ale...

Pozrime sa na príbeh v dnešnej dobe bežného školáčika - zhruba rovnakým procesom som prešiel ja a dosť pravdepodobne aj Vy. Školáčik nastúpi do prvej triedy základnej školy. Zrejme už má nejakú tú predstavu o počítaní - koľko máš prštekov na ruke? Jeden, dva, tri, štyri, päť. V škole postupne zistí, že analogicky sa dá počítať aj do desať, dvadsať, možno sto, tisíc, ... Bez akejkoľvek hlbšej úvahy proste do nášho školáčika natlačíme koncept, ktorý poznávanie sveta redukuje do niekoľkých symbolov vyjadrujúcich počet kusov/predmetov/prstov ... Uvediem príklad:
Zadanie: Ferko má 21 korún. Jedno lízatko stojí 7 korún. Koľko lízatiek si môže Ferko kúpiť? (Ja som mal ešte takéto príklady na ZŠ v korunách :D)
Riešenie: Ferko si môže kúpiť 21/7 = 3 lízatká. Gratulujem mu. Aký má zmysel náš výsledok? Dozvedeli sme sa niečo podstatné o Ferkovi? Odkiaľ má 21 korún? Prečo má potrebu kupovať si lízatká? Môže si kúpiť 3, ale kúpi ich naozaj alebo kúpi len jedno či dve?

A poďme ďalej. Rovnako automaticky a bez rozmyslu je prijatý koncept desiatkovej sústavy - t.j., že na popis počtu niečoho sa používa desať symbolov, pričom výsledná hodnota symbolu je ešte závislá na jeho polohe voči ostatným. Triviálna vec, načo sa o nej vôbec zamýšľať ... Desať prstov, desiatková sústava. Ale až o hodne neskôr (a pri niektorých školách a študijných odboroch nikdy) sa školáčik dozvie, že je to úplne jedno, koľko symbolov použijeme na popis počtu pri zachovaní pravidla o polohe znaku. Najmenej teda dva - napr. 0 a 1, ale kľudne by ich mohlo byť 7 či 13. Môže sa to zdať podivné, ale keby Vás odmala učili počítať v pätnástkovej sústave, verte mi, že počítanie v tej desiatkovej by Vám prišlo rovnako divné ako teraz naopak. To som už ale trochu preskočil ročníky, vráťme sa späť do prvej triedy.

Všetky spomínané sústavy majú však jedno spoločné - a to, že majú symbol označujúci hodnotu nula. Často si to možno ani neuvedomujeme, aký obrovský význam tá nula vlastne má. Jej koncept je však tiež prudko okresaný v spôsobe, akým sa bežne vyučuje. Sú tri kusy, dva kusy, jeden kus a keď ubudne ešte jeden, tak je nula. Je jednoducho len ďalšia hodnota - prípadne, keď sa začnú učiť číselné osi, tak východiskový bod, možno nejaký stred. Domnievam sa však, že by nula vo svojej hlbšej podstate mala označovať "NIČ". Nič je však podľa mňa nepredstaviteľné pomocou myslenia. Tvrdenie, že mám nula lízatiek je jednoducho absurdné - rovnako môžem mať aj nula Rolls-Royce-ov či nula vesmírov. Akonáhle začneme o nule (ničom) rozmýšľať, nič sa stáva niečím - a tým pádom stráca naše myslenie zmysel (resp. nevystihuje podstatu). Skúste to ... skúste si predstaviť, že ste v ničom. Alebo že ho chcete zmerať. Alebo hocičo. Akonáhle o tom začnete rozmýšľať, nič sa vytratí.

A teraz späť k školáčikovi. Spomínam si na jednu hodinu matiky v prvej triede - mali sme nejaký pracovný zošit a bola tam tabuľka s číslami po obvode a nejako ich bolo treba posčitovať, poodčitovať a vyplniť prázdne miesta v tabuľke. Pravdepodobne chybou tam však v jednom políčku vyšlo záporné číslo. Niekoľkí sme už o záporných číslach počuli, tak sme to tam proste napísali, další ešte nevedeli v danej chvíli výpočet riešiť. Učiteľka to vtedy tuším uzavrela hromadným začiernením daného políčka. S postupom času (druhá, tretia trieda, neviem) sa však o koncepte záporných (resp. po správnosti celých) čísel dozvedeli všetci a riešenie magického políčka začalo existovať. Takže od označenia počtu niečoho sa dostávame do úplne abstraktnej dimenzie. Čo má ten Ferko -3 lízatká? Keď dostane 4, tak vlastne bude mať len jedno? Samozrejme, oveľa väčší zmysel to dáva neskôr, keď to znamienko skôr reprezentuje smer, napr. pôsobiacej sily - ale keď sa školáčik o záporných číslach dozvedá, tak to ešte nie je prezentované takto. A či už náš príkladový Ferko má 3 alebo -3 lízatká, stále sa nám to neodpovie na spomínané otázky a ani na žiadne iné.

Zo školáčika sa postupne začína stávať školák (možno aj záškolák :D), ale teda keď v tej škole je, dozvie sa čo-to aj o desatinných číslach (teda racionálnych, aby sme dodržali terminológiu). Keď už sme prijali za svoje celé čísla aj s nulou, toto už nie je nejaký tvrdý oriešok - proste máme niečoho len časť a poloha znaku za čiarkou udáva práve tú časť. Za 24,5 koruny si Ferko kúpi 3,5 lízatka. No budiž. Ale čo to má s viditeľným svetom? Ako sa definuje 0,5 lízatka? Pol toho sladkého, či aj pol paličky a pol obalu? A predajú mu to tak niekde?

A niekde tu (Alebo už pri celých číslach? Naozaj neviem.) sa už kdesi mihne aj nejaké to nekonečno. Opäť relatívne prijateľná predstava - jednoducho budeme počítať 1, 2, 3, 4, 5 ... a potom sa akosi nedopočítame do nekonečna. Analogicky aj do záporného nekonečna. A tieto dve nekonečná sú síce nápomocné pri riešení niektorých matematických problémov, ale už samy o sebe sú nepochopiteľné rozumom. Opäť to skúste - rozmýšľajte o nekonečne. Predstavte si ho ... podľa mňa rovnaká situácia ako pri ničom. A napriek tomu takto definované nekonečná nenesú žiadnu podstatnú informáciu - jednoducho hovoria len o smere počítania. Definujú vlastne len nekonečne dlhú priamku (číselnú os). A zaoberať sa s Ferkom je už asi tiež zbytočné. :D Lízatko stojí 0 korún. Koľko ich Ferko kúpi za 21 korún? No nekonečno ...

Ak sa nášmu záškolakovi podarilo ako-tak úspešne natlačiť si do hlavy všetko toto a mnoho ďalšieho, pravdepodobne postúpi na strednú školu. A tu sa možno (asi podľa odboru) dozvie o tzv. číslach iracionálnych. A toto je presne pointa, ku ktorej sa tu snažím dopracovať. Už asi nie všetci sú teda v závislosti na tom, čo študovali, znalí tohto konceptu, preto ho popíšem. Racionálne čísla sú definované ako množina čísel, ktoré sa dajú zapísať v tvare zlomku, ktorý ma v čitateli celé číslo a v menovateli čislo prirodzené. Napr. 2/5 = 0,4 alebo -3/8 = -0,375. Iracionálne číslo je potom každé číslo, ktoré nie je racionálne.

Pri výuke sa dalšie úvahy bežne odbijú tým že je to napríklad Ludolfovo číslo (pí) alebo odmocnina z dvoch. Prípadne sa spomenie, že množina iracionálnych čísel je husto usporiadná - t.j. že pre akékoľvek dva prvky množiny, pre ktoré platí x < y, existuje aj prvok z taký, že x < z < y. Táto informácia pre mňa nebola nová, ale nové bolo práve uvedomenie jej dôsledkov. Keď si zvolíte 2 takmer ľubovoľné čísla, aké Vám prídu na um, vždy medzi nimi nájdete nekonečné množstvo ďalších čísel a vačšina z nich bude taktiež nekonečná. Pre ilustráciu uvediem príklad:

Zvolené čísla 2,15478 a 2,15479. A medzi nimi ležia napr. 2,154781, 2,15478125487, 2,15478186589754511557841, atď. Nekonečne veľa. A navyše okrem takýchto konečných tam sú aj také, u ktorých tie čísla za desatinnou čiarkou môžeme písať donekonečna. (Výnimku snáď tvoria len dvojice typu 1,0099999... a 1,001 - medzi ne sa už nič nevojde.) A tieto nekonečné rady číslic sú už oveľa zaujímavejšie ako len spomínané plus/mínus nekonečno. Prečo? Lebo kombinácie číslic môžu byť ľubovoľné. Ale zároveň sú nekonečné. To znamená, že v takomto čísle je zakódovaná všetka možná informácia. Zakódovaná preto, lebo sme si zvolili desiatkovú sústavu. Ale kombináciami číslic môžu byť kódované hocijaké iné symboly - napr. text v latinke by mohol byť kódovaný pomocou ASCII. Takže keby sme v takomto čísle hľadali dostatočne dlho, nájdeme tam nielen zadanie pôvodného príkladu o Ferkovi, ale aj odpovede na otázky, ktoré som položil v úvode ... vašu či moju DNA ... čokoľvek. A potom ešte vystupuje otázka, či sú tie nekonečná totožné - teda či 2,545449654blablanekonečno sa dá nájsť v 5,56498778blablanekonečno a naopak alebo sú to dve rozdielne nekonečná. Ja sa skôr prikláňam k tomu, že totožné sú. Moje myslenie sa jednoducho odmieta na tom podieľať - dá sa to len vnímať.

Rozmýšľanie o nulách a nekonečnách :D

No a na základe týchto všetkých úvah - aký význam má potom riešiť akýkoľvek matematický problém? Je jedno, k akému výsledku sa dopočítame - či už to budú 3 Ferkove lízatká, optimálne rozmery skladaného dipólu pre 350 MHz alebo rýchlosť svetla na x desatinných miest. Hneď vedľa predsa leží odpoveď na všetko. Či už bude mať Ferko 3 lízatká alebo 2,9999999999992316548465446546 549blablanekonečno, rozdiel si asi nikto nevšimne. A napriek tomu prvé riešenie má výpovednú hodnotu mizivú a to druhé obsahuje odpoveď na všetko.

Komentáre:
27-12-2016 09:36

"Lízatko stojí 0 korún. Koľko ich Ferko kúpi za 21 korún? No nekonečno ..." - tu si vydelil 0 (21/0) a to nie je nekonečno ale nedefinovaná hodnota/operácia :)
28-12-2016 07:40

Reakcia 1: V rozšírenej komplexnej rovine je výsledok delenia nulou pre nenulove delence definovaný ako nekonečno.
Reakcia 2: V obore reálnych čísel nemá delenie nulou zmysel - nie je definované. V počítačovom svete to takisto nemá zmysel, lebo algoritmus výpočtu nedáva výsledok.
V prvej odpovedi bránim svoj názor, v druhej sa prikláňam k Tvojmu. Domnievam sa však, ani jedna nevedie k pochopeniu. Obaja hľadíme na slová, zubami-nechtami sa ich držíme a hľadáme v nich zmysel. Slová však môžu na zmysel len poukazovať - ale hľadať ho treba inde.
Informovať ma o nových komentároch
© 2017 by Janurky - Peter Janura, Katarína Janurová